LimItes

LÍMITES

Analicemos la posible gráfica que generaría la función:

Para cualquier punto de x diferente de 1, se pueden utilizar varios procedimientos como el de asignar valores arbitrarios a x, para hallar los valores de f(x), pero en el punto x = 1, se hace un poco difícil el análisis de la gráfica, entonces para observar el real comportamiento de la gráfica de f(x), cerca del punto x = 1, consideramos dos grupos de valores de x.

Uno de los grupos sería el conjunto de números que se aproximen a uno por la izquierda y el otro, el conjunto de números que se aproximen por la derecha.

Para lo cual se crea una tabla de valores para los dos conjuntos de números:

Al localizar los puntos correspondientes se observa que la gráfica de f, es una parábola con un hueco en el punto (1, 2). Se puede concluir que aunque x no puede ser igual a 1 nos podemos acercar cuanto queramos a 1, y como resultado de este acercamiento, f(x)se aproxima cada vez más a 2. Utilizando la notación de límites se dice entonces que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 2, y se denota como:

Otra forma de resolver el límite:

es desarrollando el cociente:

Que es la forma algebraica y más práctica de resolver esta clase de límites.

Estos son los diferentes tipos de limites:

casoI

contante:

1.lim c=c

x->a

ejemplo:

lim 5=5

x->-2

variable:

2.limx=a

x->a

ejemplo:

x->-x

variable con una constate:

3.lim cf(x)= c lim f(x)

x->a               x->a

ejemplo:

Lim 4x       4 Lim x=()= =2

x->         x->

4.[f(x) + g(x)] = Lim f(x) +_ Lim g(x)

x->a                    x->a               x->a

ejemplo:

    f(x)=x2 +4           g(x)=x2

Lim x2 +4  Lim x3

(2)2 +4 + (2)3

4+4+8=16

5.Lim [f(x)° g(x)]= Lim f(x) °Lim g(x)

    x->a                      x->a          x->a

ejemplo:

Lim (4x+1) (2x+3)= Lim [4(4)+1] Lim [2(4)+3]

   x->4                             x->4          x->4

                               =(17) (11)

                               =87

6. Lim =

  x->a             

7.Lim   =

     x->a                  x->a

caso II

y=     cuando x->4

ejemplo:

Lim  =  ==

x->4

 cuando el resultadop es  hay que factorizar dependiendo del producto que tengas es la factorización que vas a utilizar

 Lim = x+3= 4+3=7

  x->4

           Lim =7

           x->4

caso III

 f(x)=   cuando x->2

caso IV

dado f(x)=ax3 hallar el Lim

      h->0

 f(x)=ax3

f(x+h)= a(x+h)3= ax3+3ax2h+3axh2+ah2

Lim

h->0

lim =

h->0

Lim

h->0

Lim 3ax2+3ax(0)+a(0)2

h-<0

       f(x)= ax3-3ax2

fuNcionEs

FUNCIONES
En general, el término función se utiliza para indicar la relación entre dos cantidades. Así decimos que la fuerza de un cuerpo varía en función de la aceleración. Esto significa que al variar la aceleración, varía la fuerza. Por tal motivo, tanto la fuerza como la aceleración se conocen como variables. Otros ejemplos son los siguientes: la presión que soporta un cuerpo bajo el agua está en función de la profundidad; la energía cinética de un cuerpo está en función de la velocidad; la energía potencial de un cuerpo está en función de la altura a la que se encuentra; la fuerza de atracción gravitacional entre 2 cuerpos, está en función de la distancia entre ellos. Las relaciones entre estas cantidades pueden expresarse como una fórmula matemática.
Dos líneas se pueden cortar en forma perpendicular u oblicua. Cuando se cortan en forma perpendicular forman un eje de coordenadas rectangulares.

Este eje de coordenadas llamado plano cartesiano, sirve para graficar un conjunto de parejas ordenadas  generadas por un producto cartesiano.
Para realizar la gráfica de una función en un plano cartesiano se procede así:
Se trazan los ejes de coordenadas x  y.
El dominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas  x.
El codominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas  y.
Las parejas ordenadas se representan por puntos.

Sean los conjuntos  
A = { 2, 4, 6 }   
B = { 3, 5 }

Realizar el producto cartesiano.
Definir el dominio de la función
Definir el codominio de la función.
Representar las parejas ordenadas en un plano cartesiano.
Desarrollo:
Producto cartesiano  A x B = {(2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5), (6, 3), (6, 5)}
El dominio de la función es el mismo conjunto  A,   D = {2, 4, 6}
El codominio de la función es el mismo conjunto  B,   Cd = {3, 5}
Plano cartesiano:
Gráfica:

Función lineal   Y = f(x)
En una función lineal representada por la relación   Y = f(x), para cada valor que se le asigne a la variable  x, hay un valor de y. Los valores que se le asignen a  x  reciben el nombre de abscisas, y los valores que resulten de y los llamaremos: ordenadas de la función.
Al realizar la gráfica de estos valores (puntos) nos resulta una línea recta o curva que será la gráfica de la función o ecuación   Y = f(x).

En una función   Y = f(x)  como a  x  le asignamos valores independientes para obtener valores de  y, la llamaremos variable independiente, y como  el valor de  y depende de los valores que se le asignen a  x, entonces a  y  la llamaremos variable dependiente.

Representar gráficamente la función   y = 3x + 3
Dando valores a la variable  x, se obtienen valores correspondientes  de la variable y:
para   x = 0          y = 3(0) + 3 =  0 + 3 = 3               y =  3
para   x = 1          y = 3(1) + 3 =  3 + 3 = 6               y =  6
para   x = 2          y = 3(2) + 3 =  6 + 3 = 9               y =  9
para   x = 3          y = 3(3) + 3 =  9 + 3 = 12             y = 12
para   x = -1        y = 3(-1) + 3 =  -3 + 3 = 0              y =  0
para   x = - 2       y = 3(-2) + 3 =  -6 + 3 = -3             y =- 3
para   x = - 3       y = 3(-3) + 3 =  -9 + 3 = -6             y =- 6
Dominio 
El dominio de una función se define como el conjunto de todos los elementos de "x" para los cuales se encuentra definida la función. Por ejemplo, sea f(x)= 1/x, el dominio de la función son todos los números reales, excepto el cero, ya que 1/0 no existe.


Contradominio
 contradominio o codominio de una función, son todos los elementos a los cuales te manda la función cuando aplicas la regla de correspondencia. Por ejemplo, sea f(x)= x², el dominio son todos los #s reales, y el contradominio de f(x), son todos los reales positivos incluyendo al cero, porque para cualquier número "x", positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, siempre resultará un número positivo.

                                                    contradominio

dominio

pRecaLculo

SISTEMA DE COORDDENADAS LINEALES A RECTANGULARES

Pues no, no son lo mismo.

Cuando te refieres a coordenadas lineales, te estás refiriendo a encontrar la posición de un valor sobre la recta numérica ---(-2)---(-1)---(0)---(1)---(2)---

Cuando díces coordenadas rectangulares, estás hablando del plano cartesiano. Es el cruce perpendicular de dos rectas numéricas. La línea horizontal es llamado el eje de las x (o abscisas) y la línea vertical es el eje y (u ordenadas). Y para ubicar un punto en este plano necesitas una coordenada ( x , y ), no sólo un valor como en la recta numérica.

RECTANGULARES

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares consiste en dos rectas perpendiculares entre si que se cortan en un punto 0 al que se le llama Origen del Sistema, dichas rectas se llaman Ejes Coordenados. El eje horizontal se denomina Eje de las abcisas y el eje vertical Eje de las Ordenadas. Los ejes pertenecen a un plano que se divide en cuatro regiones llamados Cuadrantes numeradas con Números Romanos.

Ejemplo:
Traza un Sistema Coordenado Rectangular y localiza los siguientes puntos:
A(5,4) B(-4,6) C(-6,-2) D(5,-3)

Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar con un «punto de partida»

LINEALES

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real coordenadas lineales Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama centro de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).
que se representa con el eje X, en el cual se define un centro de coordenadas, simbolizado con la letra O (de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las x:
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real

Las Desigualdades juegan un rol muy importante dentro de las Matematicas.

En todo lo que sigue asumiremos que las variables que usaremos son numeros reales, y si ademas cumpliesen alguna propiedad adicional, entonces sera especificado en cada cas

Desigualdades

Una condición en es una expresión que contiene la variable y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.

El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.

La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.

Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:

·         Si entonces para todo número real .

·         Si y entonces y .

·         Si y entonces y .

Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad

Las siguientes desigualdades son equivalentes:

Ejemplo 1:
Probar que si entonces:

cumpliendose la igualdad solamente si

INTERVALO

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo  (unión) entre ellos.

Los intervalos no acotados se representan mediante una semirrecta. 

·         (-¥,a). Está formado por los números reales x menores que a, excluido a. Se expresa: x<a.      

·         (-¥,a]. Está formado por los números reales x menores que a, incluido a. Se expresa:  x£a.       

·         [a,+¥). Está formado por los números reales x mayores que a, incluido a. Se expresa:  a£x.      

·         (a,+¥). Está formado por los números reales x mayores que a, excluido a. Se expresa: a<x.