Puede interpretarse el concepto de la
velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el
concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de
cambio de la distancia respecto al tiempo, y si 
describe un movimiento
rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por 
. De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de
cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del
concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física,
Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del
área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal
respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en
un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts)
que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q
cambia en una cantidad 
de un tiempo t a un
tiempo 
. Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con
respecto a t es:
describe un movimiento
rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por . De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de
cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del
concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física,
Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del
área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal
respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en
un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts)
que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q
cambia en una cantidad de un tiempo t a un
tiempo . Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con
respecto a t es:
y la razón
instantánea: 
Es decir, con frecuencia tales
problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada
para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà
y en términos de x por una fórmula 
podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.
podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.
Por razón de cambio de media de y
respecto a x, desde 
hasta 
, se entiende la relación:
hasta , se entiende la relación:
Si el cociente diferencial tiene un
límite cuando 
, este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de
razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.
, este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de
razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.
Definición: La razón de
cambio instantáneo de 
respecto a 
es la derivada 
siempre que la
derivada exista.
respecto a es la derivada siempre que la
derivada exista.
Si derivamos la derivada de una función, derivada
primera, obtenemos una nueva función
que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada
tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta
derivada f'v y así sucesivamente.
Calcula las derivadas
1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula
general para cualquiera de las derivadas
sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de
derivada enésima, f'n(x).
Calcula la derivada enésima de:
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